二角形

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二角形(にかくけい、biangle)とは、重複しない空間上の任意の 2 点と、それらを結ぶ 2 つの線分からなる多角形である。

正二角形の球への写像(赤線)

定義[編集]

任意の空間上に点 a と点 b を置き、その点を結ぶ二つの線分 ab と ba からなる図形を二角形とする。 線分 ab と ba からなる角を「内角」と呼ぶ。 また、二角形において、

  • 内角の和は 0 度である。
  • 平面上での面積は 0 である。
  • 一辺の長さを a としたとき、周囲の長さは 2a となる。

性質[編集]

多角形の中でも、特に二角形のみに見られる性質として以下のものが挙げられる。

全二角形等辺の定理[編集]

二角形の性質のうち最もよく知られているのは、「全ての二角形は正二角形である」というもので、 これを全二角形等辺の定理と呼ぶ。 ピタゴラスの定理と並んで幾何学の重要な定理の一つである。

全二角形等辺の定理は、以下のようにして証明される。
まず、空間上の重複しない点を2つ選び、それぞれ「QWERT」と、「ASDFG」とする。

  1. また、これらを結ぶ円球上の線分2本を a, b とし、長さが等しくないとする。(背理法
  2. そして、円球上にある2点を結ぶ直線それぞれが等しい。

1, 2より、
線分 a, b は同じ2点(QWERTとASDFG)を結んでいない。
しかし、これは仮定(円球上の2点QWERTとASDFGを結ぶ直線2つを a, b とする)に矛盾する。
よって、二角形の辺はすべて辺が等しい。
∴全ての二角形は正二角形である。 Q.E.D.

全二角形相似の定理[編集]

全二角形等辺の定理が成り立つことから、全ての二角形が相似の関係にあることは自明である。 このことを全二角形相似の定理と呼ぶ。 これも、幾何学の問題を解く際には頻繁に用いられる定理のひとつである。

二角形の合同条件[編集]

一辺が等しい二角形は合同である。

三心の定理[編集]

全ての二角形は、重心が辺の中心に一致する。
また、全ての外心が二角形の垂直二等分線上に存在し、外心と中心が一致する時、二角形は外接円の直径となる。
逆に、二角形が外接円の直径と一致する時、この円の中心は二角形の中心・重心と一致する。

特殊二角形の定理[編集]

ある特殊な三角形は二角形で出来ているという定理である。 この定理を満たす三角形とは三辺の長さをそれぞれ A, B, C とするとき、A=B+C を満たすものである。例えば A=5、B=2、C=3 である特殊な三角形は二角形で構成されている。

また、この定理は次のように拡張が可能。

  • ある多角形の一辺の長さが、残りの辺の長さの和に等しいなら、その多角形は二角形である。

二平方の定理、二立方の定理[編集]

二角形の2辺をそれぞれ a, b としたとき、a2=b2が成り立つ。同様にa3=b3も成り立つ。

二角不等式[編集]

二角形ABの2辺AB,ABに対し、AB≦AB が常に成り立つ。全二角形等辺定理の系として導かれる極めて重要な定理である。

関連項目[編集]

Wikipedia
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