証明

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証明(しょうめい)とは、数字的命題の実証のことである。

数学-2 このユーザーは中等教育程度のレベルの数学を理解できます。


目次

[編集] 概要

証明とは、与えられた一般的な数学的命題が真であることを示すことである。 一般的には、

条件p⇒定理q ;pならばq

といった形であり、数学的必要性又は十分性を証明する。

古来からの数学者のもっぱらの仕事であり、現代でも多くの難解な定理やその他我々には及びも付かないエキゾチックな数式が無限大に広がり続けているのだろう。

証明の歴史は、数学の中でもかなり古く、紀元前まで遡る。ただし、あまりに遡りすぎて目眩吐き気動悸といった症状を催す可能性が高く、古文書なんて無い時代だったから、もはや史学というよりも考古学のエキスパートに頼む他無いだろう。証明が大好きな数学者としてラマヌジャンが有名だが、彼は3冊のノートと、その他大量の原稿を書き残したまま亡くなるが、詳細な証明法が書いておらず、大変不親切であるというか自惚れである。「思弁的な数」を考案したカルダーノからも非難を浴びたと、野比のび太氏は証言する。が、しかし、その証言を証明することは現在でも続けられており、数々の著名な数学者からも華麗にスルーされている。

我が国で数学的証明が始まったのは比較的新しく、江戸時代の算術書「放屁論」に起源が見られた気がするが、それよりも昔の数学に関する書物は、足利義昭坑儒焚書政策と織田信長による勅令の許可制と対立した結果、ヤケを起こした長谷川等伯ら改革派の運動が蛮社の獄で弾圧されたわけでもなく、むしろ改革派なわけでもなく、要するに平賀源内は偉大だと言うことである。

[編集] 証明の為の論述

証明を行う際には、様々な数学的論述法が用いられる。

[編集] 錯角を用いる方法

平行線の錯角は等しいという性質を利用する方法である。

例)天才であることを証明する。

  平行四辺形ABCDにおいて

  錯角(錯覚)より、
  俺=天才──(1)

  (1)より、俺=天才である。
                       (Q,E,D,)

[編集] 三段論法

文字通り、証明を三段階に分けて行うものであるが、文学的三段論法(「序論」「本論」「結論」の3段構成にて行うもの)とは異なっている点に注意されたし。

[編集] 妻の価値は1円以下

  • 妻より良いものは無い。(Nothing is better than my wife).
  • 無いよりは1円の方が良い。 (1 Yen is better than nothing).

したがって

  • 妻より1円の方が良い。 (1 Yen is better than my wife).


                       (Q,E,D,)

[編集] 背理法

ある条件pがあるとき、背反条件(not:p)が真であると仮定して、矛盾から条件pの必要性を導く。

バルスが発動するならば、ムスカは失明することを証明する。

  ムスカがバルス条件下においても失明しないと仮定すると、
  バルスは、それ程の光学的爆発をもたらさない。

 i)ムスカがサングラスを遮光眼鏡として用いていた場合
  即ち、ムスカ大佐は、遮光サングラスをかける必要がなく、これは作画に矛盾する。

ii)ムスカがサングラスをファッションとして用いていた場合
  ムスカが失明しない ie 対象を正確に目測することができる。
  よって、ムスカはシータを射殺し、BAD ENDとなるため結末と矛盾する。

  ゆえに、命題は真である。

                       (Q,E,D,)

[編集] 帰納法

数学的帰納法を参照のこと。

[編集] 演繹法

数学的帰納法の敵である。やるだけ無駄とも言われる。平賀源内が晩年に発狂したのはこれによるものである。

[編集] 対偶の証明

数学的には対偶が真ならば元の命題も真であるとされているが、実際そうでもないことがわかってきた。一応ひよこ学的観点から対偶を利用した証明法は無理であることを以下に示す。

例)1+1=田ならば田=2であることを証明したい。

  この命題の対偶を取ると、「田=2でないならば1+1≠2」となる。
  田≠2より、日本中の田んぼは1または3以上の自然数である。

 i)田=1のとき、1+1=1となるが、1=2により、これは真である。

 ii)田≧3のとき、1+1=3,4,5…という初項3、公差1の等差数列が発生し、これらの和を考えると、
  S=1/2(n+3)(n+4)となるのは、まことしやかに囁かれる大嘘であるから、やっぱりこれは真である。

  ゆえに、元の命題は真であるはずなのに、対偶は偽である。
                       (Q,E,D,)

[編集] 証明の適用例

これらの証明法を用いれば、以下のようなことができる。

  • じゃんけんに負けても、背理法から不公正な戦いであったことを示し、再戦することができる。
  • 国会の答弁で失言しても、帰納法から自分の発言の正当性を示し、牛歩戦術を行える。
  • 気に食わないボブの発言の対偶を取ることで、ボブを貶めることができる。
  • カップラーメンの待ち時間は、三段論法により、自由自在に伸縮できる。
  • エクストリーム・謝罪において、これらの証明法を巧みに織り込めば、審判の心象が飛躍的に好評になる。
  • 数学的帰納法から、ひよこ陛下の長寿についても容易に説明できる。
  • 電車に乗り損ねて会社に遅刻しても、対偶の不正確さから、自分の責任ではないことが言える。
  • 逆に、責任を押し付けられた鉄道会社も、三段論法から、国土交通省に責任を転嫁できる。
  • 即ち、風が吹けば桶屋が儲かることも自明である。
  • ゆえに、タライ回しである。

[編集] 関連項目

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