Tan1°は有理数か。

出典: へっぽこ実験ウィキ『八百科事典（アンサイクロペディア）』

「tan1°は有理数か。」（たんじぇんといちどはゆうりすうか。）は、2006年度の京都大学後期入学試験数学の最終問題として出された、受験界で伝説とも言われている究極難度の問題である。最も短い大学入学試験問題として、そろそろギネスブックに登録される予定である。

目次 1 概要 2 受験者の回答例 2.1 tan1°は無理数 2.1.1 具体的な数式を出した回答例 2.2 tan1°は有理数 2.2.1 具体的な数式を出した回答例 2.3 その他 3 で結局、どれが正解なのよ？ 4 他の入試における超難問 5 脚注 6 関連項目

[編集] 概要

通常、京都大学の数学の試験では、大体50行程度の文章や数式が延々と並び、最終的に3重根号がついたような値を求めさせたり、日が暮れるような長い証明を与えさせたりするものがほとんどであるが、この「tan1°は有理数か。」は、珍しくゴミクズのように大変短いものとなっている。

そのためこの年は、快調に問1～5（文系ならば問1～問4）を処理した受験生が、「さて最終問題は何百行あるのかな」と問題用紙をめくると、たった10文字程度のこの問題が現れたため、卒倒してそのまま翌年は東京大学に志望変更するという珍現象が見られた。

[編集] 受験者の回答例

某大手予備校と京大関係者の協力を得て、受験者の回答例を回答者名を伏せてここに示す。カッコ内の数字は全受験者の回答に占める割合を表す。

[編集] tan1°は無理数

• ×無理数に決まってるだろ（30％）
• ×なんとなく無理数じゃん？　ほら、何というか・・・（20％）
• ×sin1°が無理数で、cos1°も無理数だから、tan1°= sin1°/ cos1°も無理数。(20％)
  • ×で、sin1ﾟ, cos1ﾟはなぜ無理数かというと、πが無理数なのは自明だから、sin1ﾟ, cos1ﾟも無理数。（うち15％）
• ×こんなの無理っ数（1％）
• ×8000桁まで示す（0.01％）

さすがは京大受験生。そのスペックを充分に発揮してその場計算で8000桁まで記し「ここまで示せば無理数であることをお解かりいただけるであろう」と締め括った者が1名いたが、×になった。^[1]

[編集] 具体的な数式を出した回答例

• 加法定理と2倍角の公式を使った例（3％）

tan1°は有理数であると仮定する。

2倍角の公式より、tan2ﾟ=(2tan1ﾟ) / (1-tan²1ﾟ)

よって、tan2ﾟも有理数。

同様にして、tan4ﾟ、tan8ﾟ、tan16ﾟ、tan32ﾟ、tan64ﾟも有理数。

しかし、加法定理より

tan64ﾟ=tan(60ﾟ+4ﾟ)=(tan60ﾟ+tan4ﾟ) / (1-tan60ﾟ*tan4ﾟ)

　　　　=(√3+tan4ﾟ) / (1-√3*tan4ﾟ)

tan4ﾟは有理数であり、√3は無理数なので、tan64ﾟは無理数となり、

tan1ﾟは有理数の仮定から導いた「tan64ﾟは有理数」と矛盾する。

よって、tan1°は無理数である。

×･･･tan60ﾟ=√3であることを証明していないし、√3が無理数であることも証明していない。^[2]

ここに数式を入力してください。 (Portal:スタブ)

[編集] tan1°は有理数

• ×tan1°が有理数なのは自明（3％）

その妙な自信はどこから？

• ×こういう問題を出すからには、どうせ有理数なのだろう。（3％）

その裏を読むひねくれた考え方はアンサイクロペディアンとしては優秀だが。

[編集] 具体的な数式を出した回答例

• ？「1=2」を用いた例（5％）

tan1°は無理数であると仮定する。

このとき、1=2よりtan2°は無理数。

以下同様にしてtan45°やtan156°も無理数となるが、tan45ﾟ=1より矛盾する。

よって、tan1°は有理数である。

当初、この回答は×とされたが、半年後に正解ではないかと指摘され、物議をかもしている。「1=2」は正しいが、2文目、3文目に誤謬があるのではないかと主張する数学者もいる。

• 「円周率=3.0」を用いた例（5％）

tan1°は無理数であると仮定する。

tan1ﾟ=tan(1*π/180)は無理数。

π=3より、tan(1/60)も無理数。

2倍角の公式と加法定理より（加法定理と2倍角の公式を使った例と同様）

tan(2/60)、tan(3/60)、tan(8/60)、tan(32/60)も無理数。

同様にして、tan((32+8+3+2) /60)=tan(3/4)も無理数。

これはtan(3/4)=tan(π/4)=1で有理数であることと矛盾する。

よって、tan1°は有理数である。

×･･･教授連中が「π=3.14…」と訳のわからないことを言い出して×とされた。

ここに数式を入力してください。 (Portal:スタブ)

[編集] その他

• とりあえず和文英訳してみた例（0.01％）

Is tan1°a rational number?

• 実数でないと主張した例（0.01％）

tan1°=iと仮定する。

iは嘘数。よって、tan1°も嘘数。

• 一応の成功を示唆した例（0.01％）

私は素晴らしい解法を思いついたが、それを書くには時間が足りない。

[編集] で結局、どれが正解なのよ？

神のみぞ知る。というより一番おもしろい回答例を書いた奴が優勝（何の話？）

[編集] 他の入試における超難問

• 「3 以上の自然数 n について、xⁿ + yⁿ = zⁿ となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがないことを証明せよ」（東京大学理科4類入試問題/1990年）

20世紀の終わりごろ、世界中の数学者達は『フェルマーの最終定理』と呼ばれる難問に頭を悩ませていた。日本の東大生なら1人ぐらい解いてくれるんじゃないかと淡い期待を抱いてこっそり入試問題に紛れ込ませてみたが、さすがに全滅だった。

[編集] 脚注

1. ↑ 関係者によると、教授会で「ここまでできるのなら入学させてもいいんじゃないか」という意見も出たが、「バカと天才は紙一重というが、この子はバカのほうではなかろうか？」という意見で却下された。
2. ↑ また、証明なしに加法定理や二倍角の公式を扱っているため、その時点で不正解とされる可能性もある。

[編集] 関連項目

• 証明
• 背理法
• 数学的帰納法
• 中間値の定理 - 誰がどう考えても当たり前のことを言って、ベルナルト・ボルツァーノは歴史に名を残した。