UnBooks:人類の最大数の探求

出典: へっぽこ実験ウィキ『八百科事典(アンサイクロペディア)』
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人類の最大数の探求 ~暇人達の黒歴史~[編集]

人類は、信仰美意識環境保全、求、そしてコンプレックスを自信に変える為、大きな数を探し続けて来ました。大きな数と言うのは、明らかに正の実数ですが、不思議な事に、大きな数に到達するには、自然数の逆数の級数[1]である、調和級数の和のような、項が1より小さくなって 最終的には、項が0に収束する級数の和を求めて行かなければなりません。そして、奇妙な事ですが、この結果に到達するには、実数から考察する数の領域を拡張し、複素数の範囲で考える必要があるのです。

3 ~自然数、素数、そして素因数分解~ [編集]

古代人類は、数は3まであれば十分だと考えていました。何故ならば、全ての自然数は、素数によって一意的に分解される事が知られており、全ての素数を調べさえすれば、後は、見つけた素数の組み合わせにより全ての数が表される[2]と考えられるからです。

自然数の半分が、最初の素数2の倍数であった為、次の素数を発見できれば、残り半分の数も表す事が出来るだろうと考えていました。そして、次の自然数3は、2で割りきれなかった為、素数であることが確認され、最大の数は3である(十分である。)と、発表されました。

10から20 ~そして足し算へ~[編集]

暇をもて余していた、エウクレイデスは、二次元の幾何は飽きた、これからは、一次元の幾何をやると言いながら、手持ちの素数を使って、次の計算を行いました。

2×3+1=7

この式により、7は、明らかに、2でも3でも割りきれませんし、2や3より大きいです。(i.e.これは、最大の数が3では小さ過ぎることを意味しています。)また、新たに見つけた、素数を用いてこの計算を繰り返すと、素数がどうやら無限に存在するようだと言う結論にも達しました。

そこで、人類は、原点に立ち返り、手の指を数えて10に到達し、足の指も数えて20まで最大の数を更新しました。その後、長らく最大の数は更新されていませんでしたが、他の人の手の指や足の指を加えると更に大きい数を表せる事に気付き、当時の人類は、足し算こそが、最大の数に到達する方法であると、結論付けました。

神聖ローマ帝国のとある小学生 ~効率の良い足し算の方法~[編集]

いくつかの試行、により、大きな数を発見する為には、足し算を繰り返す事が、簡単で、有効な方法であり、足す数を順に大きくしていくことが効率的である事が示唆されましたが、この方法では、足す数を増やすと、計算に必要な時間が飛躍的に増えていくため、なかなか大きな数を更新する事が出来ませんでした。

そんなある日、1から100まで順に足して行くと言う、奉仕活動を行う事を命じられていた、とある小学生が、加法の交換法則等[3]を用い、懐に隠し持っていた、逆に100から1まで順に並べた数列を用い、初項と終項の和に項の数をかけ、これを2で割って、直ぐに計算を終わらせました。これにより、最大の数は、大幅に更新される事になりました。

神の啓示を受けるフランスの僧侶 ~不正確だった中世欧州数学の収束条件~[編集]

世界が足し算ブームに入る中、フランスのとある宮殿で、踊る相手が見付からず、仕方なく、仮面舞踏会の音楽を楽しんでいた僧侶は、次の神の啓示を受けました。

つまり、自然数の逆数の和は発散するのだと、このことから、僧侶は、「通常、数が大きくなれば成る程、逆数は小さくなります。この級数を、足せる所まで足して見ましたが、その和は10を越えませんでした。しかし、この級数は発散しました。これは、足した数以降の項に、級数を無限大に発散させるような大きな数が並んでいると言う事です。この級数は元々自然数の逆数を順に足して行ったものなのですから、足した数以降に現れる、自然数Nの逆数の列は、増加のとても遅い収束すると思われるようなこの級数を無限大に発散させるほど大きいのです。つまり、逆数の逆数である、元の自然数Nの列は、思ったほど大きくならないかも知れません。つまり、自然数の総和は私達が足した範囲では、ずっと増加すると思われていましたが、私達が実際に足して確かめた範囲以降では、そうとは限りません。」と主張[4]しました。しかし、一般項が0に収束する為、誰も自然数の逆数の総和が、発散すると言うことを信じませんでした。[5]

サイクロプスの無限解析 ~級数を関数として捉えそして積分法へ~ [編集]

Integral Test.svg 嘆く、僧侶を不憫に思った心優しいサイクロプスは、横の図から を導き、となることから、僧侶が「自然数の逆数の総和は発散する」と主張したのは正しかったと発表しましたが、の計算結果が、無理数か有理数かを説明出来ませんでした。[6]その為、信用されませんでした。

また、彼は現在ではRimannζ関数を初めて導入した人物と知られておりまして、この関数と自然数の逆数が無限大であると言う事実を使って[7]となることも導びかれました。[8]

ただし、彼の時代には、後述する解析接続と言う計算技術がまだ確立されていなかった為、ζ関数が負の実数の範囲で定義される事はありませんでした。

また、余談ではありますが、先述したサイクロプスを敬愛する小学生は、である事[9]を予想しました。

ソビエトチェルノブイリにある鉛筆式猫エネルギー発電所 ~自然数の合計のヒューリスティックな説明~[編集]

ソ連は、後述する計算結果、であることを、大量に投入されたリクビダートルに実際に手計算させる事により秘密裏に、既に認識していました。当時猫トースト装置の技術を持っておらず、慢性的な、電力不足に陥っていたソ連は、最早魔法に頼るしかないと、送迎用意のタクシーのナンバープレートを「1729」とする当時としては、破格の待遇で、インドの魔術師を表向きは郵便局員として、召集しました。

爆発を繰り返していた、当時のソ連の発電所でしたが、魔術師は、

と巧みに稼働中の発電所の燃料棒や制御棒である竹槍の位置の交換を行い、と言う結果と合わせて、を得て、ボイド係数をに抑え見事制御に成功した。

しかし、この発電所は、運転員が、後に制御棒の操作に失敗し、大爆発を起こしました。

後に、この危険な制御棒の操作を、リチャード・ファインマンの同僚であるフォン・ノイマンは次のように評しました。「この制御棒の操作は、無限級数の項を無遠慮に操作するような物だ、これは、お昼寝中の猫の髭をくすぐるような行為に相当する。」と。

リーマンショック ~複素数領域で広がったζの定義域~ [編集]

Ramanujanのノート。当時のアメリカとソ連の関係上不可能ではありましたが、このノートの存在をリーマンショック前に知ることが出来ていたのならば、世界同時株安は防げていたのかも知れません。

そのような楽観論の中、マンハッタン島に勤務する、酒に酔ったζをこよなくするサラリーマンが、「ζ関数が、だけでしか成立しない、負の実数で定義出来ない関数は、役立に立たない。ζ関数は時代遅れだ」と言ってる人たちは、ζの一部の姿しか見ていません、だって、美しい対称式が成り立っています、シンメトリーとか美しいでしょう?嘘じゃないですからね。」と豪語してしまい、恥ずかしくなった言い訳として、「あれは、普通のRiemannζ関数ではありません、完美化[10]されたζ関数の方です、こっちの方法で、ζ関数を表すと、元々のζ関数が定義されない範囲も定義されるし、対称式が美しいでしょう?」と言い張りましたが、「元々のζ関数の定義域の外の話をしても等しいとは言えないでしょう?エイプリルフールって事にしてあげますから、意味のない式をこじつけないでください。営業でも行って来なさい!」と言われてしまいました。渋々、営業相手の名前と顔を一致される為に徹夜し、徹夜の最中遂に、トランス状態に突入してしまい、現実逃避の為に、良く整備の行き届いている[11]トラック[12]万歩計を付けて走り回って[13]いるうちに朝になり帰宅した所、歩数が0[14]となっていた事から、童心に帰り、ひたすら列車のおもちゃやレールを連結し続けている内に、発見した、一致の定理[15] を手にソビエト連邦に亡命、ヨシフ・スターリン[16]に、チェルノブイリにある鉛筆式猫エネルギー発電所爆発事故の被害を終息する事を命じられ、見聞を深める為、スリーマイル島猫エネルギー発電所に派遣され、祖国に舞い戻ったサラリーマンが、γ[17]線の線量を測る際に、近付き過ぎると危険な為、線量計と結んだヒモ[18]を他のヒモ[19]接続[20]して行って延長[21]した所、元々のRiemannζ関数[22]の値が発散する為無意味と思われていた範囲についても、値が収束し定義出来る関数がRiemannζ関数に一致する事が確認され、Riemannζ関数が定義出来ないと思われていた範囲でも、Riemannζ関数が定義されるようになりました。

これにより、[23]であることが確認され、また、元々ζ関数は、と定義されていたのですから、が導かれます。この結果は、自然数を1から順に足して行く計算はずっと増加していくように信じられていた自然数の総和が、実際は、1を越えるのはおろか、負の数となっていた事を示しています。この事実は、自分達が投資するのに用いていた金融モデルが正しくないのではと、世のサラリーマンを疑心暗鬼にし、世界同時株安をもたらしました。(リーマンショック)

この世界同時株安となった特異点,サブプライム・ワン()回りに、ローラン展開[24] した所、であることが確認され、これを意識したのか、株主総会の際に行われたスピーチの冒頭部は、大抵こう始められています。「今回の株安についての説明を、ウォール街のサラリーマンに聞くとこう答えます。'As everybody knows,'.と。もしこの事を知らなければ、今からする話は到底理解できないから、でも数えて寝ていて宜しいですよ」と。[25]

以上の状況を踏まえると、1より大きい正の数を足すことは、最初はどんどん合計が大きくなっていくが、足す回数を増やし過ぎると、途中で負の数になってしまい、絶対値は、足す数を大きくすればするほど小さくなってしまいます、これは、1より大きい正の数を足し続ける計算では、これ以上大きな数に到達する事が出来ないと言う事態を意味していました。

探検家アーベルの発見 ~アーベルの総和法~ [編集]

そこで、無限級数に適度に負の数を挿入する事[26]により級数の合計が負の数になることを防ごうと考えましたが、級数に減法を追加する事によって、計算がより複雑になり、計算結果を理論的に、求める事が困難となってしまいました。計算方法が見つからないまま、人々の記憶からこの方法は忘れさられると思われましたが、コーシーに冒険録を紛失され、目下、北極圏を探索中だったスウェーデンノルウェーの探検家、アーベル[27]は、探索の結果、北極圏にある円卓領域B7Rの境界部分[28]である円周上にある事を把握しましたが、猛吹雪の為視界が有界でなく、やむなく中心部の村シュトルツ村に立ち寄り、「ストルツの路[29]を保ちながら円卓の端に行け、もし冒険録の行き先が決まっていたら見つかるであろう。」と言う言い伝えを元に円周上に近付く事に成功しましたが、冒険録がどうなったかは定かではありません。この時の経験から、である事[30]を発見し、減法を途中で挿入する事は合計を正の数にする目的に置いて有効であると確認されたが、未だ、1を越える事は甚だ困難[31]であり、最大数を求めるには、足す数の絶対値を1より小さくしないといけない事は最早明確でした。

そして、人海戦術へ ~そして、人は原点に帰る~[編集]

当時脚光を浴びなかったオレームの主張でありましたが、他の最大数を求める方法が、悉く、1を越えられず退けられた現在では、増加が非常に遅く、最大数を求めるのにこれまで以上の労力がかかる調和級数に頼るしかない事が解って来ました、そこで我々は、古来から人類に伝わる人海戦術[32]によって、最大数を追い求めて行く結論に達したのです。さぁ、同士諸君!最大の数をどこまでも追い求めて行こうではありませんか!

さぁ、同士諸君、自然数の逆数を足し続けようではありませんか![編集]

Nemurineko.jpg この節を書こうとした人は途中で寝てしまいました。
後は適当に頑張って下さい。(Portal:スタブ)

さぁ、同士諸君、素数の逆数を足し続けようではありませんか![編集]

Nemurineko.jpg この節を書こうとした人は途中で寝てしまいました。
後は適当に頑張って下さい。(Portal:スタブ)

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 1以外は1より小さく、とだんだんと項が小さくなり、最終的には0に近づいていきます。
  2. ^ 例えば、素数が2だけだった場合どんな大きい数でも、と言う感じに表され、2より大きい数はもう必要ありません。
  3. ^ 無限の世界ではこのような行為は、非常に危険です。
  4. ^ 折角、項が0に収束するような級数が発散する例の啓示を受けたのに、このような謎の考察を付けては、誰も信じないのは無理もありません。皮肉な事に、自然数の合計が収束する事に最初に気付きましたが、何故このような考察をしたのか、啓示を与えた神も不思議でならないでしょう。
  5. ^ 後に、スイスに住むベルヌーイ一家によってこれが正しく神の啓示であると検証されています。
  6. ^ 未だに、未解決です。
  7. ^ 余談ではございますが、この結果も、素数が、無限個あることを示しています。
  8. ^ ζ関数のオイラー積表示、の有限バージョンの両辺の対数を取って、左辺を、積から和に変換したり、の巾級数展開を求めたりしてみて、導いてみることをお勧めします。
  9. ^ で近似するのが当時のファッションだったようです。
  10. ^ 完備化
  11. ^ 正則:複素微分可能な事、複素関数f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)が、コーシー・リーマン方程式 を満たす必要があります。また、正則である点は、巾級数に展開可能です。この事実は、一致の定理の成立に関係します。
  12. ^ ジョルダン曲線:自己交差のない閉曲線(例えば、円とか、二次関数とかは、開いている曲線となります。)この曲線によって囲まれた領域が内と外に分けられるかどうかと言う問題の証明は、とても難しいです。
  13. ^ 線積分:曲線に沿って評価された関数の値についての積分の事
  14. ^ コーシーの定理:ジョルダン曲線に沿って一周積分した場合、この領域内部で、曲線に沿って評価した関数が正則である時、積分の値は、0となります。
  15. ^ で正則な複素関数f(z),g(z)が、Dで集積点を持つDの部分集合上で一致すれば領域D全体で一致すると言う定理。これにより、正則な範囲では、一部の点で、値が一致したとき、正則な領域全体で、一致する事がわかります。この定理を参考に、f(z)を領域で正則な関数と領域で正則な関数,(但し、である連結領域で、とする。)で表す事を考える。すると、f(z)の定義域は、と考えられ、曲線に沿った解析接続は、一意的です。
  16. ^ スターリング公式:指数に関する収束の早い近所公式、や、指数の拡張であるΓ関数での式、が知られています。
  17. ^ Γ関数:指数の拡張、として定義され、解析接続の際に便利な、逆数の無限積表示(ワイエルシュトラスよる乗積表示)として、(これは、複素平面全域で正則です。)が知られています。
  18. ^ ζ:ヒモのように見えます。
  19. ^ 例えばこんな感じののヒモです。
  20. ^ 解析接続:関数の定義域を拡張する方法、一致の定理により、曲線に沿った接続は、一意的であることがわかります。
  21. ^ 解析的延長:解析的接続と同じ意味です。
  22. ^ どうやら、私達は、ζ関数が収束するような、一部の領域でのζの姿しか見ていなかったようです。本来のζは、もっと幅広い領域で、美しい姿を見せてくれます。つまり、このζの表示は、一部の領域での姿に過ぎず、全体でのζの姿ではなかったのです。
  23. ^ 比較的楽に具体的な値が求まる表示として、の整数の時、と表される事が知られており、はベルヌーイ数で、の値はで表される。
  24. ^ ただし、が、無理数とか、有理数とかそう言うのを気にしてはいけません。
  25. ^ 株価が大幅安となった株主総会の冒頭での発言でございます。
  26. ^ ほら、昔から言うじゃないですか、押してダメなら引いてみろって。
  27. ^ アーベル:五次以上の方程式は解を持たない事の証明やアーベルの連続性定理で有名です。アーベルの連続性定理は、巾級数を関数としてみて、正則な範囲内(この範囲は、収束円と呼ばれる、領域の内部では一様収束し、外部では発散するような円で領域を表す事が出来ます。任意の巾級数は、収束円を持ちます。また、内部では収束し外部すると書きましたが、収束円円周上ではどうなのかと言う疑問はあると思います、実は、収束円は、その円周上では、収束するかどうかわからないのです。)で、成立する関数を、収束円円周上に近付けて行ったとき、関数が連続で、一様収束する条件がわかります。収束円上での、関数の連続性。読んで字の如くの定理ですね。
  28. ^ どうやらクレバスがあるようです。
  29. ^
  30. ^ まず、この二式をの係数と捉えます。二式は、で一様収束し、この時の計算結果は、それぞれとなります。また、左極限は、それぞれです。もし、二つの式の行き先が決まっていれば(つまり収束しているならば)、北極の村の言い伝え通りに、計算結果にたどり着けます。えっ?収束してるかですって?あれですよアレ
  31. ^ 押して、好感度がマイナスに入っていたのだからそんなものです。
  32. ^ スーパーコンピューターは、カルト集団、円周率教に占拠されてしまった為、使用不可能です。