tan1°は有理数か。

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無理数に決まってるだろ。」
tan1° について、京大受験生

tan1°は有理数か。」(たんじぇんといちど-ゆうりすう-)は、2006年度の京都大学後期入学試験数学の最終問題として出された、受験界で伝説とも言われている究極難度の問題である。最も短い大学入学試験問題として、そろそろギネスブックに登録される予定である。

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ウィキペディア専門家気取りたちも「Tan1°は有理数か。」については執筆を躊躇しています。そのような快挙を手際よくやりおおせたことは、我らの誇りです。

概要[編集]

通常、京都大学の数学の試験では、大体50行程度の文章や数式が延々と並び、最終的に3重根号がついたような値を求めさせたり、日が暮れるような長い証明を与えさせたりするものがほとんどであるが、この「tan1°は有理数か。」は、珍しく大変短いものとなっている。

そのためこの年は、快調に問1~5(文系ならば問1~問4)を処理した受験生が、「さて最終問題は何百行あるのかな」と問題用紙をめくると、たった10文字程度のこの問題が現れたため、卒倒してそのまま翌年は東京大学に志望変更するという珍現象が見られた。

受験者の回答例[編集]

某大手予備校と京大関係者の協力を得て、受験者の回答例を回答者名を伏せてここに示す。カッコ内の数字は全受験者の回答に占める割合を表す。

tan1°は無理数[編集]

  • ×無理数に決まってんじゃん(30%)
  • ×なんとなく無理数じゃん? ほら、何というか・・・(20%)
  • ×sin1°が無理数で、cos1°も無理数だから、tan1°= sin1°/ cos1°も無理数。(20%)
    • ×で、sin1゚, cos1゚はなぜ無理数かというと、πが無理数なのは自明だから、sin1゚, cos1゚も無理数。(うち15%)
  • ×こんなの無理っ数(1%)
  • ×題意は「(焼肉の)タン1(枚)」のことを指している。しかしながらタン塩1枚だけを注文することは不可能である。従って、タン1。=Tan1° は無理数ということが判明する。(0.1%)
  • ×8000桁まで示す(0.01%)
さすがは京大受験生。そのスペックを充分に発揮してその場計算で8000桁まで記し「ここまで示せば無理数であることをお解かりいただけるであろう」と締め括った者が1名いたが、×になった。[1]

具体的な数式を出した回答例[編集]

は有理数であると仮定する。
2倍角の公式より、
よって、も有理数。
同様にして、も有理数。
また、加法定理より
であり、がともに有理数であるから、も有理数。
ところが、 であり、 は無理数だから、
は有理数の仮定から導いた「は有理数」と矛盾する。
よって、は無理数である。
×・・・であることを証明していないし、が無理数であることも証明していない。[2]

tan1°は有理数[編集]

  • ×tan1°が有理数なのは自明(3%)
その妙な自信はどこから?
  • ×こういう問題を出すからには、どうせ有理数なのだろう。(3%)
その裏を読むひねくれた考え方はアンサイクロペディアンとしては優秀だが。

具体的な数式を出した回答例[編集]

  • 1=2」を用いた例(5%)
tan1°は無理数であると仮定する。
このとき、1=2よりtan2°は無理数。
以下同様にしてtan45°やtan156°も無理数となるが、tan45゚=1より矛盾する。
よって、tan1°は有理数である。
当初、この回答は×とされたが、半年後に正解ではないかと指摘され、物議をかもしている。「1=2」は正しいが、2文目、3文目に誤謬があるのではないかと主張する数学者もいる。
tan1°は無理数であると仮定する。
tan1゚=tan(1*π/180)は無理数。
π=3より、tan(1/60)も無理数。
2倍角の公式と加法定理より(加法定理と2倍角の公式を使った例と同様)
tan(2/60)、tan(3/60)、tan(8/60)、tan(32/60)も無理数。
同様にして、tan((32+8+3+2) /60)=tan(3/4)も無理数。
これはtan(3/4)=tan(π/4)=1で有理数であることと矛盾する。
よって、tan1°は有理数である。
×・・・教授連中が「π=3.14…」と訳のわからないことを言い出して×とされた。


ここに数式を入力してください。 (Portal:スタブ)

その他[編集]

  • とりあえず和文英訳してみた例(0.01%)
Is tan1° a rational number?
  • 実数でないと主張した例(0.01%)
tan1°=iと仮定する。
iは虚数。よって、tan1°も虚数。
  • 一応の成功を示唆した例(0.01%)
私は素晴らしい解法を思いついたが、それを書くには時間が足りない

で結局、どれが正解なのよ?[編集]

神のみぞ知る。というより一番おもしろい回答例を書いた奴が優勝(何の話?) まぁ頭の固い人のために補足するが加法定理と2倍角の公式を使った例が正解だが・・・。

他の入試における超難問[編集]

  • 「3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがないことを証明せよ」(東京大学理科4類入試問題/1990年)
20世紀の終わりごろ、世界中の数学者達は『フェルマーの最終定理』と呼ばれる難問に頭を悩ませていた。日本の東大生なら1人ぐらい解いてくれるんじゃないかと淡い期待を抱いてこっそり入試問題に紛れ込ませてみたが、さすがに全滅だった

脚注[編集]

  1. ^ 関係者によると、教授会で「ここまでできるのなら入学させてもいいんじゃないか」という意見も出たが、「バカと天才は紙一重というが、この子はバカのほうではなかろうか?」という意見で却下された。
  2. ^ また、証明なしに加法定理や二倍角の公式を扱っているため、その時点で不正解とされる可能性もある。

関連項目[編集]